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福建省《高等代數》與《線性代數》課程建設研討會的參會感想
发布时间:2018-11-20   浏览次數:13


  


第二十次福建省《高等代數》與《線性代數》課程建設研討會于2018年11月10日在莆田學院召開,參加這次會議的有來自複旦大學謝啓鴻教授、吉林大學杜現昆教授、西安電子科技大學高淑萍教授、東南大學陳建龍教授和淮北師範大學等幾位老師、以及我省包括廈門大學、福州大學、福建師範大學、福建農林大學等22所學校的專家與學者任課教師,共92人,我院管強、祁輝、趙紹玉、王佑恩四位老師有幸也參加了這次會議。

本次會議的主題是研討“《高等代數》與《線性代數》”的在線課程教學設計。研討會的宗旨是:建立《高等代數》與《線性代數》課程建設交流平台,互相學習、共同促進,提高全省《高等代數》與《線性代數》課程的師資水平與教學質量,更重要的是能讓大家充分理解在線課程。會議期間,代表們從《高等代數》與《線性代數》課程建設的改革、教材內容處理、教學方法改革、教學實踐體會及《高等代數》與《線性代數》在線課程建設問題進行了廣泛的切蹉與交流,共有11位代表在会上作了中心发言。在会上,高等教育出版社李晓鹏老师回顾高等教育出版社出版的所有数学相关的教材,然而随着互联网时代的到来,出版社提出一种新形态教材,所谓新形态教材是以纸介质教材爲核心,数字化资源相配合的新型教材。通过纸介质教材和数字化资源的一体化設计,充分发挥纸介质教材体系完整、数字化资源呈现多样和服务的个性化等特点,并通过二维码等网络技术,新颖的版式設计和内容编排建立纸介质教材和数字化资源的有机联系,支持学习者用移动設备进行学习,形成相互配合、相互支撑的知识体系,从而提高教材的适用性和服务课程教学的能力。复旦大学谢启鸿教授从高等代数的教材、学习指导书、博客、在线课程、教学、考试命题、教學研究、教学效果八方面较爲系统地阐述自己在《高等代数》课程建設中如何培养学生的能力,分别从对教材的理解、指导书的設计、博客、考试命题等全方面提升学生的能力;吉林大学杜现昆教授较系统地阐述了《高等代数》的三个代表思想:“運算”、“分類”、“對應”,让参会者对《高等代数》有了更进一步的认识;廈門大學林亞南教授回顧了二十次研討會的主題思想,提出今後的會議該怎麽進行;西安電子科技大學高淑萍教授就《線性代數》考核方式在線平台建設和實踐進行了詳細介紹,在發言中,提出《線性代數》的新體系——“三三”課程體系:“三元化”教學體系、“三維度”教學方法、“三階段”考試方式,讓參會者對課程改革有了更進一步的認識,更加體現了課程改革的多樣化;廈門大學劉轼波教授將《線性代數》融入數學分析,介紹了線性代數在數學分析中的應用,而廈門理工學院陳雪副教授將《線性代數》融入自己的教學內容和科研內容,莆田學院晏瑜敏副教授討論了矩陣的秩和非零特征值個數差,讓我們更加深刻認識到學科之間的關系是微妙的,和《線性代數》廣泛的應用;東南大學陳建龍教授就《線性代數》的教學、研究、教材及MOOC四個方面介紹了在線課程的改革。還有的老師介紹了自己在《高等代數》與《線性代數》在線課程建設的一些做法,如廈門大學陳桂芝副教授介紹了《線性代數》在線課程的制作;集美大學朱榮坤副教授介紹了他們團隊的《線性代數》在線課程的建設與思考。這些任課教師教學設計的分享讓參會者體會到課程研究和在線課程改革的重要性。

通過參加這次會議,我們四位老師對《高等代數》與《線性代數》課程教學産生了一些新的想法:

  1. 對高等代數課程內容的再認識

    《高等代數》以三大問題爲切入點——線性方程的求解問題、如何使線性變換的矩陣表示更簡單問題、二次超曲面的精細分類問題,矩陣是貫穿《高等代數》的主線之一。

  2. 而矩陣的乘法不滿足乘法交換律,將矩陣、線性空間、線性變換、特征值、相似標准形、內積空間的教學起到串聯的作用。一般情況下,,然而有以下性質:

    1)設n階方陣,則有相同的非零特征值。因爲

    2)設n階方陣,則

    例:n階方陣,如果,那麽AB=BA。一般情況下,是不成立的。例:,則,但是

    3)設n階方陣,則

  3. 可逆矩陣爲主线

    n階方陣,則以下条件等价

    1爲可逆矩陣;(矩陣)

    2;(行列式)

    3;(秩)

    4的行(列)向量組線性無關;(向量組)

    5的行(列)向量组爲的基;(線性空間)

    6的兩組基下的過渡矩陣;(線性空間)

    7的解空间的维数爲0(線性空間)

    8的列空间的维数爲n;(線性空間)

    9,其中爲初等矩陣;(矩陣)

    10可经初等变换化爲;(初等變換)

    11等價;(矩陣)

    12只有零解;(線性方程組)

    13有唯一解,對任意;(線性方程組)

    14)伴隨矩陣爲可逆矩陣;(矩陣)

    15的特征值均非零;(特征值)

    16爲正定矩陣。(正定性)

  4. 三个代表思想爲主线

    《高等代數》的三個代表思想是指運算、分類和對應。運算包含二元運算、二元关系和映射,二元運算的性质有結合律、交換律、单位元和可逆元;二元关系有反身性、传递性、对称性和反对称性;映射的性质有单射、满射和双射。比如说,多项式的運算有加法、乘法、最大公因式、次數等,而这些運算及其关系将多项式的基本内容都联系在一起,比如说,多项式的因式分解就是多项式乘法和次數運算之间的关系。

  

加法

乘法

最大公因式

加法

交換律

結合律

  

  

乘法

分配律

結合律

交換律

  

最大公因式

  

f,gh=(f,g)(f,h),(g,h)=1

f(g,h)=(fg,fh),f首一

結合律

交換律

次數

deg(f+g)<max{deg f,deg g}

deg{fg}=deg f+deg g

次數最大的公因式

矩陣的運算包含加法、乘法、数乘、转置、逆、初等变换、行列式、秩等,如做一次初等变换相当于乘以一个初等矩陣,可逆矩陣可以转换成若干个初等矩陣的乘积;而線性空間和歐氏空間本身就自带加法、数乘及内积運算。矩陣的分類有通过等价、相似、合同关系进行分類;線性空間的分類包含同构、维数、n元列空间;二次型的分類通过合同关系实现的。向量空间的對應关系有每一个向量都有唯一的一个坐标與之對應;线性变换都存在一个方阵與之對應,線性方程組與增广矩陣相對應、二次型與对称方阵相對應。总之,三个代表思想高度概括了《高等代数》中的重要内容,如下表

  

行列式

線性方程組

矩陣

線性空間

線性映射

歐氏空間

二次型

行列式

運算

  

運算

  

  

  

  

線性方程組

  

運算

對應

  

  

  

  

矩陣

運算

對應

運算

對應

對應

對應分類

對應分類

線性空間

  

  

對應

分類

  

運算

  

線性映射

  

  

對應

  

運算

  

  

歐氏空間

  

  

  

運算

  

運算

  

二次型

  

  

對應分類

  

  

  

運算

掌握三個代表思想對于教、學有很多的指導意義,在教學過程中充分運用三個代表思想可事半功倍。

  1. 對《線性代數》課程教學方法的探討

    1)注重《線性代數》的應用

    由于線性代數具有高度的抽象性,严密的逻辑性,广泛的应用性和结论的确定性,因此,教师在讲授线性代数的教学过程中,应体现内容上的严谨性、讲解中的通俗性和方法的实用性。特别应注意跨学科之间的应用性。比如,厦门理工学院的陈雪副教授将矩陣的相关思想和方法应用的“不確定多屬性決策方法”和“有限維李代數的根空間分解;厦门大学刘轼波教授将克莱姆法則與数学分析中的超曲面的法失联系在一起,雅可比行列式的符号與定向的关系,应用《线性代数》求解Cauchy-Binet公式與重积分换元公式,超曲面上預定切失的曲線問題。通過將跨學科的知識點聯系在一起,能幫組學生更好的理解知識點,同時也激发学生学习《线性代数》课程的兴趣。线性代数與各个学科之间的关系,如下图:

    2)注重課程的改革

    針對《高等代數》這種概念多、定理多、學時少比較抽象的學科。由于互联网、信息技术、数学软件的出现,《高等代数》和《线性代数》的教学改革势在必行,教学改革重在教與学的内含設计,教学内容的多形式呈现、教学手段的多类型采用、教與学的多阶段测试、教学过程的多模式互动等。比如,厦门大学陈桂芝副教授制作《线性代数》的在线课程建設,集美大学朱荣坤副教授分享《线性代数》在线课程建設的几点思考,复旦大学谢启鸿教授通过教材、教学、考试命题等进行教学改革,而西安电子科技大学高淑萍教授在改革考试方法做了详细的介绍。总之,通過幾位老師的講解,使我們了解到“在線課程”可以使教師在課堂內外教育教學過程中圍繞某個知識點(重點難點疑點)或技能等單一教學任務進行教學,這些知識點或技能,可以是教材解讀、題型精講、考點歸納,也可以是方法傳授、教學經驗等技能方面的知識講解和展示。這種教學方式具有目標明確、針對性強和教學時間短的特點。相較于傳統課程,在線課程有著自身的優點。這些老師還介紹了在線課程制作流程和制件時要注意的事項。

    总之,通过参加本次课程建設研讨会,既使沙龙国际网址多少对代数课程的教学有了新的认识,又使沙龙国际网址多少对“在線課程”這一全新的教學模式有了深入的认识。有助于我們在今後的教學過程中,利用這一全新的教學模式,提高課程教學效果和質量。


                                         

                                                                                       管強、祁輝、趙紹玉、王佑恩